Теорема о нечетности вершин

В любой графе число вершин нечетной степени четно.

Чтобы понять эту теорему, давайте сначала разберемся, что такое степень вершины и нечетная степень.

• Степень вершины - это количество рёбер, которые соединяют данную вершину с другими вершинами.
• Нечетная степень - это степень, которая является нечетным числом.

Теперь рассмотрим пример графа. Пусть у нас есть граф, состоящий из пяти вершин и шести рёбер. Каждая вершина имеет степень, равную количеству рёбер, которые к ней ведут. Таким образом, каждая вершина имеет степень 2 или 3.

Теперь давайте посмотрим на нечетные степени. У нас есть вершины A, B, E, которые имеют нечетные степени (2, 3, 3). Остальные вершины C и D имеют четные степени (2, 2), так как они имеют ровно два ребра, ведущие к ним.

Таким образом, общее количество вершин с нечетными степенями равно трем (A, B, E), а общее количество вершин с четными степенями равно двум (C, D). Так как сумма этих двух чисел равна пяти (количество вершин в графе), то общее количество вершин с нечетными степенями должно быть четным.

Это и есть суть теоремы о нечетности вершин: в любом графе число вершин нечетной степени четно.