Доказательство возрастания функции

В данной статье мы докажем, что функция y = cos(x^2) + 2x возрастает.

Определение возрастающей функции

Прежде чем приступить к доказательству, давайте определимся с понятием возрастающей функции. Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента x1 и x2, где x1 < x2, значение функции f(x1) < f(x2).

Доказательство возрастания функции

• Рассмотрим функцию y = cos(x^2) + 2x.
• Вычислим производную этой функции.

Теперь, чтобы доказать, что функция возрастает, нам нужно показать, что производная положительна для всех значений аргумента x.

• Рассмотрим случай, когда x > 0. В этом случае sin(x^2) > 0, так как синус положителен при положительных аргументах.
• Таким образом, производная будет равна dy/dx = 2.
• Так как 2 > 0, то производная положительна, а значит, функция возрастает на интервале x > 0.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда x < 0. В этом случае sin(x^2) < 0, так как синус отрицателен при отрицательных аргументах.

• Таким образом, производная будет равна dy/dx = -2.
• Так как -2 < 0, то производная отрицательна, а значит, функция убывает на интервале x < 0.

Таким образом, мы доказали, что функция y = cos(x^2) + 2x возрастает на интервале x > 0 и убывает на интервале x < 0.